یہ مضمون دریافت کرنے جا رہا ہے کہ کیا ہے۔ orthonormal بنیاد ایک میٹرکس کا اور انہیں MATLAB میں کیسے تلاش کرنا ہے۔ orth() فنکشن
میٹرکس کی آرتھونورمل بنیاد کیا ہیں؟
لکیری الجبرا میں، orthonormal بنیاد ایک ویکٹر اسپیس V کی ایک محدود جہت ہونے کی بنیاد ہے۔ آرتھونورمل ویکٹر جہاں آرتھونورمل ویکٹر وہ یونٹ ویکٹر ہیں جو ایک دوسرے سے آرتھوگونل ہیں جو کہ ان کا ڈاٹ پروڈکٹ صفر ہے۔
دو اکائی ویکٹر x اور y پر غور کریں، اگر وہ ایک دوسرے کے لیے آرتھوگونل ہوں گے۔ 'x.y=0' . یہ دونوں ویکٹر بھی کہلاتے ہیں۔ آرتھونورمل ویکٹر .
ہمیں آرتھونورمل بنیاد کا حساب لگانے کی ضرورت کیوں ہے؟
آرتھونارمل بنیاد دوسرے ویکٹر پر ویکٹر کے پروجیکشن کو تلاش کرنے یا دو ویکٹروں کے درمیان فاصلہ تلاش کرنے کے لحاظ سے مفید ہے۔ ہم ایک استعمال بھی کر سکتے ہیں۔ orthonormal بنیاد ہمارے سمیولیشنز میں راؤنڈ آف کی خرابی کو کم کرنے کے لیے اور اس کی واحد وجہ یہ ہے کہ آرتھونارمل بنیادوں میں ویکٹر ایک دوسرے سے آزاد ہوتے ہیں، اس طرح ایک ویکٹر کی خرابی دوسرے ویکٹروں میں پھیل نہیں سکتی۔ مزید یہ کہ اگر ہماری بنیاد آرتھونارمل ہو تو نقاط تلاش کرنا اور لکیری تبدیلی کو انجام دینا بہت آسان ہے۔
MATLAB میں میٹرکس کی آرتھونورمل بنیاد کیسے تلاش کی جائے؟
MATLAB میں، ہم تلاش کر سکتے ہیں orthonormal بنیاد بلٹ ان کا استعمال کرتے ہوئے orth() فنکشن جو تعین کرنے کے لیے ذمہ دار ہے۔ orthonormal بنیاد دیئے گئے میٹرکس کا۔ یہ فنکشن میٹرکس کو لازمی پیرامیٹر کے طور پر قبول کرتا ہے اور میٹرکس کو ایک آؤٹ پٹ کے طور پر فراہم کرتا ہے جس میں orthonormal بنیاد دیئے گئے ان پٹ میٹرکس کا۔
نحو
دی orth() فنکشن کو MATLAB میں درج ذیل نحو کے ذریعے لاگو کیا جا سکتا ہے۔
Q = orth ( اے، ٹول )
یہاں،
- فنکشن Q = orth(A) کا تعین کرنے کے لئے ذمہ دار ہے orthonormal بنیاد A کی حد کے لیے جہاں آؤٹ پٹ میٹرکس Q کے کالم کی نمائندگی کرتے ہیں۔ orthonormal بنیاد میٹرکس A کا اور وہ میٹرکس A کی رینج کو سپیم کرتے ہیں۔ اس کے علاوہ A کا درجہ Q کے کالموں کی گنتی کے برابر ہے۔
- فنکشن Q = orth (A, Tol) کا تعین کرنے کے لئے ذمہ دار ہے orthonormal بنیاد رواداری کی وضاحت کرنے والی A کی حد کے لیے۔ ان پٹ میٹرکس A کی واحد قدریں، جو رواداری سے کم ہیں، Q کے کالموں کی تعداد کو متاثر کر کے زیرو مانی جاتی ہیں۔
مثال 1: MATLAB میں فل رینک میٹرکس کی آرتھونورمل بنیاد کیسے تلاش کی جائے؟
یہ MATLAB کوڈ طے کرتا ہے۔ orthonormal بنیاد دیے گئے مربع میٹرکس A کا سائز n=3 استعمال کرتے ہوئے orth() فنکشن یہ کوڈ میٹرکس A کا درجہ بھی استعمال کرتا ہے۔ درجہ () فنکشن اس بات کی تصدیق کرنے کے لیے کہ ان پٹ میٹرکس مکمل رینک ہے۔
اے = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = درجہ ( اے )
Q = orth ( اے )
مثال 2: MATLAB میں رینک کی کمی والے میٹرکس کی آرتھونورمل بنیاد کی گنتی کیسے کی جائے؟
اس مثال میں، ہم استعمال کرتے ہیں orth() تلاش کرنے کے لئے فنکشن orthonormal بنیاد دیے گئے رینک کی کمی والے میٹرکس اے کا۔ میٹرکس اے رینک کی کمی ہے کیونکہ درجہ (K)<سائز(A) .
اے = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;r = درجہ ( اے )
Q = orth ( اے )
مثال 3: MATLAB میں رواداری کی وضاحت کرکے مکمل رینک میٹرکس کی آرتھونورمل بنیاد کیسے تلاش کی جائے؟
دی گئی مثال حساب کرتی ہے۔ orthonormal بنیاد دیئے گئے فل رینک مربع میٹرکس A جس کا سائز ہے۔ n=3 کا استعمال کرتے ہوئے orth() پہلے سے طے شدہ رواداری کے ساتھ فنکشن۔ جیسا کہ A ایک مکمل رینک میٹرکس ہے، A اور Q کا سائز (آرتھوگونل بنیاد) وہی ہے، جو اس معاملے میں 3×3 ہے۔ مثال پھر حساب کرتی ہے۔ orthonormal بنیاد رواداری 0.5 کی قدر بتا کر A کی قدروں پر غور کرنے کے لیے جو 0.5 سے کم ہیں بطور واحد اقدار۔ A میں تین واحد قدریں ہیں، لہذا A میں دو آرتھونارمل کالم ویکٹر ہیں جیسا کہ Qtol میٹرکس.
A = رینڈ ( 3 ) ;r = درجہ ( اے )
Q = orth ( اے )
Q_tol = orth ( اے، 0.5 )
نتیجہ
تلاش کرنا orthonormal بنیاد ویکٹر اسپیس کا لکیری الجبرا کا ایک اہم تصور ہے جو ایک پیچیدہ ریاضیاتی مسئلہ ہے۔ تاہم، MATLAB کے بلٹ ان کا استعمال کرکے اسے آسانی سے اور مؤثر طریقے سے حل کیا جاسکتا ہے۔ orth() فنکشن اس مضمون میں مختلف نحو اور مثالوں کا استعمال کرتے ہوئے اس فنکشن کے نفاذ کو پیش کیا گیا ہے۔