باب 2: بولین الجبرا اور اس کے متعلقہ کمپیوٹر اجزاء
2.1 بنیادی بولین آپریٹرز
مان لیں کہ میں (مصنف) لمبا ہوں اور آپ (قارئین) لمبے ہیں۔ اگر کوئی آپ سے پوچھے کہ کیا ہم دونوں لمبے ہیں تو آپ کہیں گے 'ہاں' (سچ)۔ اگر وہ پوچھے کہ کیا ہم دونوں چھوٹے ہیں تو آپ کہیں گے 'نہیں' (جھوٹا)۔ اگر آپ چھوٹے ہیں اور میں لمبا ہوں، اور وہ آپ سے پوچھے کہ آپ یا میں لمبا ہوں تو آپ کا جواب 'ہاں' (سچ) ہوگا۔ اگر وہ پوچھے کہ آپ اور میں دونوں لمبے ہیں تو آپ کے پاس کوئی جواب نہیں ہوگا۔ آپ یہ کہہ سکتے ہیں کہ آخری سوال نہیں پوچھا جانا چاہئے یا سوال کا جواب نہیں ہے۔ ٹھیک ہے، میں چاہتا ہوں کہ آپ (قارئین) یہ جان لیں کہ آج مخصوص حالات میں سوال کیا جانا چاہیے۔
حیاتیات میں، ایک شخص یا تو لمبا یا چھوٹا ہے. یہ 'ماحولیاتی' حالات ہیں جو انسان کو درمیانے قد کا بنا دیتے ہیں۔ ایک سائنسدان، جارج بول نے اس قسم کے سوالات کے جوابات یا اصولوں کا ایک مجموعہ بیان کیا۔ ہم یہ اصول آن لائن کیریئر کورس (باب) کے اس حصے میں سیکھیں گے۔ یہ اصول آج کمپیوٹنگ، پروگرامنگ، الیکٹرانکس اور ٹیلی کمیونیکیشن میں استعمال ہوتے ہیں۔ درحقیقت، ان اصولوں کے بغیر، آپ کے پاس کمپیوٹر نہیں ہوتا، جیسا کہ آج کل عام ہے۔ آپ کے پاس پروگرامنگ بھی نہیں ہوگی، جیسا کہ آج کل عام ہے۔
صحیح یا غلط
ایک سادہ انسانی زبان کا بیان یا تو اپنے آپ میں سچ ہے یا غلط۔ اگر میں کہوں، 'میں لمبا ہوں'، تو یہ سچ ہے یا غلط۔ اگر میں کہوں، 'تم لمبے ہو'، تو یہ سچ ہے یا غلط۔ اگر میں لمبا ہوں اور آپ چھوٹے ہیں، اور سوال پوچھا جاتا ہے کہ کیا آپ اور میں دونوں لمبے ہیں، تو بولین لاجک میں، صحیح یا غلط کا جواب دینا ضروری ہے۔ ان دونوں میں سے کس کو دیا جائے؟ بول نے واقعی اس سوال کا جواب نہیں دیا۔ وہ صرف ہمارے لیے اصولوں کا ایک سیٹ لے کر آیا ہے۔ اچھی خبر یہ ہے کہ، جب آپ ان اصولوں کو ان کے صحیح تناظر میں فالو کرتے ہیں، تو آپ کو کوئی ابہام نہیں رہتا۔ ان اصولوں کی بدولت آج ہمارے پاس کمپیوٹر اور پروگرامنگ موجود ہے۔ اصول اب آپ کو دیے گئے ہیں۔ اصولوں کی حقیقت میں وضاحت نہیں کی جا سکتی۔ تم صرف انہیں قبول کرو. قواعد تین عنوانات کے تحت ہیں: اور، یا، اور نہیں.
اور
سوال پوچھا جا سکتا ہے کہ آپ اور میں دونوں لمبے ہیں۔ میرا قد اور آپ کی اونچائی پھر اصولوں کے AND سیٹ کے ساتھ مل جاتی ہے۔ پیروی کرنے کے لئے یہ اور قواعد ہیں:
غلط اور غلط = غلط
غلط اور سچ = غلط
سچ اور غلط = غلط
سچ اور سچ = سچ
اب لمبے کو سچ اور چھوٹا ہونے دو۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر میں چھوٹا ہوں اور آپ چھوٹے ہیں تو آپ اور میں چھوٹے ہیں۔ اگر میں چھوٹا ہوں اور آپ لمبے ہیں تو آپ اور میں چھوٹے ہیں۔ یہ بولین جواب ہے جسے آپ کو قبول کرنا ہوگا۔ اگر میں لمبا ہوں اور آپ چھوٹے ہیں تو آپ اور میں دونوں چھوٹے ہیں۔ اگر میں لمبا ہوں اور آپ لمبے ہیں تو آپ اور میں لمبے ہیں۔ یہ سب اور بولین اصول ہیں جنہیں آپ (قارئین) کو صرف قبول کرنا ہوگا۔
یا
سوال پوچھا جا سکتا ہے کہ آپ یا میں لمبے ہیں۔ میرا قد اور آپ کی اونچائی پھر قواعد کے OR سیٹ سے مل جاتی ہے۔ یہ پیروی کرنے کے OR قواعد ہیں:
غلط یا غلط = غلط
غلط یا سچ = سچ
سچ یا غلط = سچ
سچ یا سچ = سچ
ایک بار پھر، لمبے کو سچ اور چھوٹے کو جھوٹا ہونے دیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ اگر میں چھوٹا ہوں یا آپ چھوٹے ہیں تو آپ یا میں چھوٹا ہوں۔ اگر میں چھوٹا ہوں یا آپ لمبے ہیں تو آپ یا میں لمبے ہیں۔ اگر میں لمبا ہوں یا آپ چھوٹے ہیں تو آپ یا میں لمبا ہوں۔ اگر میں لمبا ہوں یا آپ لمبے ہیں تو آپ یا میں لمبے ہیں۔ یہ سب بولین اصول ہیں جنہیں آپ کو قبول کرنا ہوگا۔
نہیں
اب، بولین منطق میں، صرف دو حالتیں (ممکنہ جوابات) موجود ہیں۔ یعنی، اگر آپ لمبے نہیں ہیں، تو آپ چھوٹے ہیں۔ اگر آپ چھوٹے نہیں ہیں تو آپ لمبے ہیں۔ اور کچھ نہیں. یہ پیروی کرنے کے قوانین نہیں ہیں:
غلط نہیں = سچ
سچ نہیں = غلط
فرض کریں کہ آپ کے پاس ایک تار (یا بہار) ہے جسے آپ بڑھا سکتے ہیں (کھینچیں)۔ جب کہ تار اپنی فطری حالت میں ہے، اگر میں کہوں، 'چھوٹا نہیں'، تو آپ اسے بڑھا دیں گے۔ یہ تشریح ہے. جب سٹرنگ بڑھا دی جاتی ہے، اگر میں کہوں، 'لمبا نہیں'، تو آپ اسے سکڑنے کی اجازت دیں گے۔ یہ تشریح ہے.
آپ کو ان کے مختلف زمروں میں دیئے گئے تمام قواعد کو حفظ کرنا ہوگا۔
دو سے زیادہ آپریشنز
کمپیوٹر کی زبان میں، AND، OR، اور NOT ہر ایک کو آپریٹر کہا جاتا ہے۔ NOT آپریٹر کے لیے، آپ کو جواب دینے کے لیے صرف ایک آپرینڈ (آپریٹر کی قدر) کی ضرورت ہے۔ AND یا OR آپریٹرز کے لیے، آپ کے پاس دو سے زیادہ آپرینڈز ہو سکتے ہیں۔ پچھلے کیسز AND اور OR کے لیے دو کام دکھاتے ہیں۔ آپ کے پاس AND کے لیے مندرجہ ذیل تین کام ہو سکتے ہیں:
جھوٹا اور غلط اور غلط = غلط
غلط اور غلط اور سچ = غلط
یہ دو سطریں ہیں؛ ہر ایک کے دو اور آپریٹرز ہیں۔ اصل میں نو لائنیں ہوتی ہیں جب آپرینڈز تین ہوتے ہیں۔ AND آپریٹر کے ساتھ، صرف آخری لائن (نویں لائن) سچ کے برابر ہے۔ تمام پچھلی لائنیں غلط ہیں۔ نوٹ کریں کہ AND کے لیے دو آپرینڈز کے ساتھ، صرف آخری لائن ہی سچ ہے۔ تمام پچھلی تین لائنیں غلط ہیں۔ جب آپرینڈز چار ہوتے ہیں تو 16 لائنیں ہوتی ہیں اور صرف آخری لائن AND آپریٹر کے لیے درست ہوتی ہے۔
AND کا پیٹرن اور OR کا پیٹرن مختلف ہیں۔ دو یا آپریٹرز کے لیے تین آپرینڈز کے ساتھ، نو لائنیں بھی ہیں اور صرف پہلی لائن، اس بار، غلط ہے۔ دوسری سے نویں لائن تک درست ہے۔ نوٹ کریں کہ OR کے لیے دو آپرینڈز کے ساتھ، صرف پہلی لائن ہی سچ ہے۔ باقی تمام تین لائنیں غلط ہیں۔ جب آپرینڈز OR کے لیے چار ہوتے ہیں، تو 16 لائنیں بھی ہوتی ہیں۔
NOT آپریٹر صرف ایک آپرینڈ سے ڈیل کرتا ہے۔ جھوٹ نہیں سچ ہے اور سچ نہیں جھوٹ ہے۔
2.2 دو اوپرینڈ ٹروتھ ٹیبل اور ان کے الیکٹرانک اجزاء
ریاضی میں ایک موضوع ہے جسے الجبرا کہتے ہیں۔ اس کا ایک چھوٹا سا حصہ پچھلے باب میں دیکھا گیا تھا۔ الجبرا کی ایک قسم ہے جسے بولین الجبرا کہتے ہیں۔ بولین الجبرا میں، سچ کی شناخت بنیادی دو ہندسوں سے ہوتی ہے جو 1 ہے اور غلط کی شناخت بنیادی دو ہندسوں سے ہوتی ہے جو 0 ہے۔
اندرونی کمپیوٹر یونٹ کے اجزاء الیکٹرانک اجزاء ہیں۔ کمپیوٹر سسٹم کے سسٹم یونٹ میں ڈیجیٹل الیکٹرانک اجزاء ہوتے ہیں۔ AND آپریشن ایک چھوٹے الیکٹرانک جزو کے ذریعے کیا جاتا ہے جسے AND گیٹ کہتے ہیں۔ OR آپریشن چھوٹے الیکٹرانک جزو کے ذریعہ کیا جاتا ہے جسے OR گیٹ کہتے ہیں۔ NOT آپریشن چھوٹے الیکٹرانک جزو کے ذریعہ کیا جاتا ہے جسے NOT گیٹ کہتے ہیں۔ ان میں سے بہت سارے دروازے انٹیگریٹڈ سرکٹ (IC) چپ میں ہو سکتے ہیں۔
اور سچائی کی میز اور اس کا دروازہ
مندرجہ ذیل ٹیبل AND سچ ٹیبل اور اس کے AND گیٹ (چھوٹے سرکٹ) کی علامت دیتا ہے:
اور سچ ٹیبل اور اس کے گیٹ دونوں کے لیے، A اور B دو ان پٹ متغیرات ہیں۔ Q آؤٹ پٹ متغیر ہے۔ A یا تو 1 ہے یا 0۔ B یا تو 1 یا 0 ہے۔ Q یا تو 1 یا 0 ہے۔ 1 اور 0 کے ساتھ AND سچائی کا جدول وہی ہے جو پچھلے سچے/غلط اور سچائی کی ترتیب (ٹیبل) کی طرح ہے۔ اور مساوات یہ ہے:
اے B = Q
جہاں ڈاٹ (.) کا مطلب ہے اور (بولین)۔ ڈاٹ کو AB = Q رکھنے کے لیے چھوڑا جا سکتا ہے جس کا مطلب ایک ہی چیز (AND) ہے۔
نوٹ: چار قطاروں میں A اور B کے بٹس، جوڑوں کے طور پر، 0 (یا 00) سے شروع ہونے والے بیس دو میں پہلے چار نمبر ہیں، یعنی 00، 01، 10، 11۔
مندرجہ ذیل ٹیبل OR سچ ٹیبل اور اس کے OR گیٹ (چھوٹے سرکٹ) کی علامت دیتا ہے:
OR سچ ٹیبل اور اس کے گیٹ دونوں کے لیے، A اور B دو ان پٹ متغیرات ہیں۔ Q آؤٹ پٹ متغیر ہے۔ 1 اور 0 کے ساتھ OR سچائی کی میز پچھلے سچے/غلط یا سچ کی ترتیب (ٹیبل) کی طرح ہے۔
OR مساوات ہے:
A + B = Q
جہاں + یہاں کا مطلب بولین یا ہے نہ کہ اضافہ۔ مساوات کو 'A یا B برابر Q' کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔
درج ذیل ٹیبل NOT Truth Table اور اس کے NOT gate (چھوٹے سرکٹ) کی علامت دیتا ہے:
NOT Truth Table یا NOT gate میں صرف ایک ان پٹ اور ایک آؤٹ پٹ ہوتا ہے۔ جب ان پٹ 0 ہوتا ہے تو آؤٹ پٹ 1 ہوتا ہے۔ جب ان پٹ 1 ہوتا ہے تو آؤٹ پٹ 0 ہوتا ہے۔ NOT گیٹ ایک طرح کا الٹا کرتا ہے۔ آؤٹ پٹ متغیر ان پٹ متغیر جیسا ہی ہے، لیکن بار کے ساتھ (اوور لائنڈ)۔ 1's اور 0's کے ساتھ NOT Truth Table سابقہ سچ/غلط یا سچائی لے آؤٹ (ٹیبل) جیسا ہی ہے۔
مساوات نہیں ہے:
A = Q
جہاں Q = A اور یہاں A کے اوپر بار کا مطلب تکمیلی ہے۔ 0 کی تکمیل 1 ہے اور 1 کی تکمیل 0 ہے۔ NOT گیٹ کو INVERTING گیٹ بھی کہا جاتا ہے۔
ڈیجیٹل الیکٹرانکس (بولین الجبرا کے ساتھ) میں یہ بنیادی (یا جڑ) سچائی میزیں اور ان کے دروازے (چھوٹے سرکٹس) ہیں۔ باقی تین سچائی میزیں جو درج ذیل مثال میں دی گئی ہیں اور ان کے دروازے سہولت کے لیے ہیں اور پچھلی تین سچائی جدولوں پر مبنی ہیں۔
ایک سچائی میز اور گیٹ ہے جو AND سچائی کی میز اور گیٹ سے ماخوذ ہے۔ انہیں NAND (NOT AND کے لیے) سچائی کی میز اور متعلقہ NAND گیٹ کہا جاتا ہے۔ NAND سچائی کی میز اور اس کا NAND گیٹ یہ ہیں:
NAND سچائی کی میز کو حاصل کرنے کے لیے، AND سچائی کی میز کے آؤٹ پٹ پر جائیں اور ہر ہندسے کو اس کی تکمیل سے بدل دیں۔ 0 کی تکمیل 1 ہے اور 1 کی تکمیل 0 ہے۔ NAND گیٹ AND گیٹ کی طرح ہے، لیکن آؤٹ پٹ لائن سے پہلے ایک چھوٹا دائرہ ہے۔ NAND مساوات یہ ہے:
جہاں کا مطلب ہے 'A' اور 'B' کے نتیجہ کی تکمیل۔ بار (اوور لائن) کو گیٹ میں چھوٹے دائرے سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ A اور B کے درمیان ڈاٹ کو چھوڑا جا سکتا ہے۔
ایک اور سچ ٹیبل اور گیٹ ہے جو OR سچ ٹیبل اور گیٹ سے ماخوذ ہے۔ انہیں NOR (for NOT OR) سچائی میز اور متعلقہ NOR گیٹ کہا جاتا ہے۔ NOR سچائی کی میز اور اس کا NOR گیٹ یہ ہیں:
NOR سچائی کی میز کو حاصل کرنے کے لیے، OR سچ ٹیبل کے آؤٹ پٹ پر جائیں اور ہر ہندسے کو اس کی تکمیل سے بدل دیں۔ 0 کی تکمیل 1 ہے اور 1 کی تکمیل 0 ہے۔ NOR گیٹ OR گیٹ کی طرح ہے، لیکن آؤٹ پٹ لائن سے پہلے ایک چھوٹا دائرہ ہے۔ NOR مساوات یہ ہے:
کہاں 
مطلب ہے 'A' یا 'B' کے نتیجے کی تکمیل۔ بار (اوور لائن) کو گیٹ میں چھوٹے دائرے سے دکھایا جاتا ہے۔
خصوصی OR (XOR)
OR گیٹ کے لیے سچائی کی میز یہ ہے:
عام انگریزی میں، یہ واضح نہیں ہے کہ آیا 1 یا 1 کی آخری قطار کو 1 یا 0 دینا چاہیے۔ لہٰذا، بولین الجبرا میں، دو قسم کی OR سچائی میزیں اور دو متعلقہ دروازے ہیں۔ نارمل OR کے ساتھ، 1 یا 1 کی آخری قطار 1 دیتی ہے۔ OR کی دوسری قسم خصوصی-OR (XOR) ہے جہاں پہلی تین قطاریں عام OR (بشمول آؤٹ پٹ) کی پہلی تین قطاروں جیسی ہوتی ہیں۔ تاہم، چوتھی اور آخری قطار کے لیے، 1 یا 1 0 دیتا ہے۔
مندرجہ ذیل ٹیبل XOR سچ ٹیبل اور اس کے XOR گیٹ (چھوٹے سرکٹ) کی علامت دیتا ہے:
XOR سچائی کی میز اور اس کے گیٹ دونوں کے لیے، 'A' کے ساتھ ساتھ 'B' دو ان پٹ متغیرات ہیں۔ 'Q' آؤٹ پٹ متغیر ہے۔
XOR مساوات ہے:
A ⊕ B = Q
جہاں ⊕ کا مطلب بولین XOR ہے۔
عام OR کا مطلب ہے یا تو دونوں۔ خصوصی OR کا مطلب سختی سے ہے۔ یا تو اور دونوں نہیں.
2.3 بولین پوسٹولیٹس
پوسٹولیٹس وہ مفروضے ہیں جن کی بنیاد پر کچھ نتائج اخذ کیے جاتے ہیں۔ دس بولین پوسٹولیٹس ہیں جو AND، OR، اور NOT مساوات (سچائی میزیں) سے جڑے ہوئے ہیں۔ ان مساوات کو فنکشنز بھی کہا جاتا ہے۔ بنیادی افعال کو مندرجہ ذیل طور پر دوبارہ نقل کیا جاتا ہے:
یہ بولین الجبرا میں بنیادی افعال (مساوات) ہیں۔ مندرجہ ذیل دیگر تین (فعال) مساوات بنیادی افعال نہیں ہیں:
اگرچہ یہاں آخری فعل عجیب ہے، لیکن اسے بنیادی فعل نہیں سمجھا جاتا۔
Boolean postulates مندرجہ ذیل ہیں:
اور فنکشن سے
1) 0۔ 0 = 0
بیس . 1 = 0
3) 1۔ 0 = 0
4) 1۔ 1 = 1
OR فنکشن سے
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
NOT فنکشن سے
9) 0 = 1
10) 1 = 0
نوٹ: یہ پوسٹولیٹس صرف AND، OR، اور NOT سچائی جدولوں کی لائنیں ہیں جن کا اظہار آزادانہ انداز میں کیا گیا ہے۔ قاری کو دیے گئے مراسلے کو یاد رکھنا چاہیے۔
2.4 بولین پراپرٹیز
پراپرٹی کسی چیز کی خصوصیت کی طرح ہے۔ بولین پراپرٹیز وہ مساوات ہیں جو بولین پوسٹولیٹس سے اخذ کی گئی ہیں۔ اس حصے میں، خواص کو ان کے مشتقات کے بغیر صرف دیا جاتا ہے اور پھر بعد میں استعمال کیا جاتا ہے۔ ان میں سے پچیس جائیدادیں دس عنوانات کے تحت درج ذیل ہیں:
AND فنکشن کی خصوصیات
پراپرٹی 1:
جہاں X 1 یا 0 ہو سکتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ X چاہے کچھ بھی ہو، نتیجہ ہمیشہ 0 ہی ہوتا ہے۔
نوٹ: ایک متغیر ضروری نہیں کہ A یا B یا C یا D ہو۔ ایک متغیر W یا X یا Y یا Z یا کوئی دوسرا حرف ہو سکتا ہے۔
پراپرٹی 2:
جہاں X 1 یا 0 ہو سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ پراپرٹی 1 اور پراپرٹی 2 کے درمیان فرق یہ ہے کہ دونوں مساوات کے مساوی نشان کے بائیں طرف، X اور 0 کی پوزیشنیں آپس میں بدل جاتی ہیں۔
پراپرٹی 3:
اگر X 0 ہے، تو 0. 1 = 0. اگر X 1 ہے، تو 1. 1 = 1۔
پراپرٹی 4:
اگر X 0 ہے، تو 1. 0 = 0. اگر X 1 ہے، تو 1. 1 = 1. نوٹ کریں کہ پراپرٹی 3 اور پراپرٹی 4 کے درمیان فرق یہ ہے کہ دونوں مساوات کے بائیں طرف، کی پوزیشنیں X اور 1 کا تبادلہ ہوتا ہے۔
OR فنکشن کی خصوصیات
پراپرٹی 5:
جہاں X 1 یا 0 ہو سکتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ اگر X 0 ہے تو نتیجہ 0 ہے۔ اگر X 1 ہے تو نتیجہ 1 ہے۔
پراپرٹی 6:
جہاں X 1 یا 0 ہو سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ پراپرٹی 5 اور پراپرٹی 6 کے درمیان فرق یہ ہے کہ دونوں مساوات کے بائیں طرف، X اور 0 کی پوزیشنیں آپس میں بدل جاتی ہیں۔
پراپرٹی 7:
اگر X 0 ہے تو 0 + 1 = 1۔ اگر X 1 ہے تو 1 + 1 = 1۔
پراپرٹی 8:
اگر X 0 ہے، تو 1 + 0 = 1۔ اگر X 1 ہے، تو 1 + 1 = 1۔ نوٹ کریں کہ پراپرٹی 7 اور پراپرٹی 8 کے درمیان فرق یہ ہے کہ دونوں مساوات کے بائیں طرف، کی پوزیشنیں X اور 1 کا تبادلہ ہوتا ہے۔
خود یا اس کے تکمیل کے ساتھ متغیر کے امتزاج سے متعلق خواص
پراپرٹی 9: 
یعنی: اگر X 0 ہے، تو 0۔ 0 = 0۔ اگر X 1 ہے تو 1۔ 1 = 1۔
پراپرٹی 10:
یعنی: اگر X 0 ہے، تو 0. 1 = 0. اگر X 1 ہے، تو 1. 0 = 0۔
متواتر متغیرات کے لیے، یہ خاصیت بن جاتی ہے:
پراپرٹی 11:
یعنی: اگر X 0 ہے، تو 0 + 0 = 0۔ اگر X 1 ہے، تو 1 + 1 = 1 (عام OR سے)۔
پراپرٹی 12:
یعنی: اگر X 0 ہے، تو 0 + 1 = 1۔ اگر X = 1، تو 1 + 0 = 1۔
یعنی: اگر X 0 ہے، تو 0 + 1 = 1۔ اگر X = 1، تو 1 + 0 = 1۔
ڈبل تکمیل
پراپرٹی 13:
جب بائیں طرف کا X 0 ہے، تو دائیں طرف کا X 0 ہو جاتا ہے۔ جب دائیں طرف کا X 1 ہے، تو بائیں طرف کا X 1 ہو جاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ڈبل تکمیل اصل قدر واپس دیتا ہے۔
تبدیلی کا قانون
پراپرٹی 14:
اس کا مطلب یہ ہے کہ AND آپریٹر کے لیے، مساوی نشان کے بائیں جانب، پہلے اور دوسرے آپرینڈز کو تبدیل کرنے سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے۔ بائیں جانب تبادلہ ہونے کے بعد بھی جواب وہی ہے۔ یہ مساوات ان نقطوں کے ساتھ لکھی جا سکتی ہے جنہیں چھوڑ دیا گیا ہے: XY = YX۔
پراپرٹی 15:
یہاں وضاحت وہی ہے جو پچھلے AND میں ہے، لیکن یہ OR آپریٹر کے لیے ہے۔
تقسیم کا قانون
پراپرٹی 16:
یہاں تین متغیرات ہیں: X، Y، اور Z۔ ہر متغیر یا تو 1 یا 0 ہو سکتا ہے۔ مساوی علامت کے بائیں طرف، بریکٹس کا مطلب یہ ہے کہ پہلے ان میں کیا ہے۔ پھر، AND X کے ساتھ نتیجہ ہے۔ دائیں ہاتھ کی طرف کہتا ہے کہ X اور Y ایک ساتھ، یا X اور Z ایک ساتھ، بائیں ہاتھ کی طرف کے برابر ہیں۔ نوٹ کریں کہ ANDs کے لیے ڈاٹ آپریٹر کو مکمل طور پر چھوڑ دیا گیا ہے۔ اور جوائنڈ متغیر کا اب بھی مطلب ہے AND۔
پراپرٹی 17:
یہ پراپرٹی W کے اضافی متغیر کے ساتھ پراپرٹی 16 کی توسیع ہے۔
ایسوسی ایٹیو قانون
پراپرٹی 18:
بریکٹ کا مطلب ہے پہلے اس بات کا اندازہ لگانا کہ بریکٹ میں کیا ہے۔ لہٰذا، بائیں طرف کے اظہار کے لیے، اگر Z کے ساتھ Y کو پہلے AND کیا جاتا ہے، اور X کو نتیجہ کے ساتھ AND کیا جاتا ہے، تو بائیں ہاتھ کی طرف کا حتمی نتیجہ وہی ہوگا جو دائیں طرف کا حتمی نتیجہ ہے۔ - ہاتھ کی طرف جہاں X کے ساتھ Y کو Z کے ساتھ نتیجہ AND کرنے سے پہلے AND کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ نقطوں کو مساوات میں چھوڑ دیا گیا ہے۔
پراپرٹی 19:
اس پراپرٹی کی وضاحت اسی طرح کی گئی ہے جیسے پراپرٹی 18، لیکن AND آپریٹر کے بجائے OR آپریٹر ملازم ہے۔ OR آپریٹر + کو سادگی کی خاطر کبھی بھی بولین اظہار سے خارج نہیں کیا جاتا ہے۔ دوسری طرف، AND آپریٹر کو چھوڑا جا سکتا ہے اور دو متغیرات کو جوڑا جا سکتا ہے۔
جذب
پراپرٹی 20:
اس مساوات کے ساتھ، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ Y کچھ بھی ہے، دائیں ہاتھ کی طرف ہمیشہ X (جذب) ہوگا۔
پراپرٹی 21:
نیز، اس مساوات کے ساتھ، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ Y کچھ بھی ہے، دائیں ہاتھ کی طرف ہمیشہ X (جذب) ہوگا۔ یہ پراپرٹی 21 وہی ہے جو پراپرٹی 20 کی ہے جو کہ:
یہاں، ہم تقسیمی قانون اور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہیں کہ پراپرٹی 9 کا X.X = X۔
ایک شناخت
پراپرٹی 22:
اس کا مطلب ہے کہ X + Y اظہار کے لیے، Y کے سامنے X کی تکمیل اظہار کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔
پراپرٹی 23:
اس کا مطلب ہے کہ XY اظہار کے لیے، بریکٹ میں Y کے ساتھ X ORed کی تکمیل، جو پہلے کی جاتی ہے، XY اظہار کو تبدیل نہیں کرتی ہے۔
ڈی مورگن کا قانون
پراپرٹی 24:
اس کا مطلب یہ ہے کہ NOR (NOT OR) گیٹ کا وہی نتیجہ ہوتا ہے جو کہ دو ان پٹ کو AND کرنے سے پہلے ان کو نہ کرنا۔
پراپرٹی 25:
اس کا مطلب یہ ہے کہ NAND (NOT AND) گیٹ کا نتیجہ وہی ہوتا ہے جو ORing سے پہلے دو ان پٹ کو نوٹ کرنا ہوتا ہے۔
فراہم کردہ مثالیں 25 خصوصیات ہیں۔ انہیں 1 اور 0 کی تمام مختلف ممکنہ قدروں کو تبدیل کر کے ثابت کیا جا سکتا ہے، یہ دیکھنے کے لیے کہ آیا دائیں طرف کا اظہار (یا نتیجہ) حاصل ہوا ہے۔ ثبوت قارئین کے لیے بطور مشق چھوڑے جاتے ہیں۔
2.5 مرکب اظہار کی آسانیاں
درج ذیل دو افعال ایک جیسے ہیں:
Z آؤٹ پٹ ہے اور X، W، اور Y ان پٹ ہیں۔ پہلے کو ایک نند گیٹ، ایک اور گیٹ، ایک اور گیٹ، دو نہیں گیٹ، ایک یا گیٹ، اور ایک نور گیٹ کی ضرورت ہے۔ دوسرے کو صرف دو اور دروازے درکار ہیں۔ پہلی ایک مرکب اظہار کے ساتھ ایک مساوات ہے، دائیں ہاتھ کی طرف، جسے دوسری مساوات کے لیے واحد دائیں ہاتھ کے اظہار کی اصطلاح میں آسان (کم کیا گیا) کیا گیا ہے۔
ایک سرکٹ کے طور پر ایک ہی فنکشن کو لاگو کرنے کے لئے آسان بنانے یا کمی گیٹس کی کم تعداد کی طرف جاتا ہے۔ اس طرح کا چھوٹا سرکٹ انٹیگریٹڈ سرکٹ (IC) کا حصہ ہوسکتا ہے یا کمپیوٹر مدر بورڈ کی سطح پر اسٹینڈ اکیلے سرکٹ ہوسکتا ہے۔
جب کوئی فنکشن (مساوات) ڈیزائن کے عمل پر پہنچتا ہے، تو دروازوں کی تعداد کو کم کرنے اور سستے سرکٹ کے ساتھ ختم کرنے کے لیے آسانیاں پیدا کرنی پڑتی ہیں۔ آسان بنانے کے لیے پچھلی پچیس بولین خصوصیات میں سے ایک یا زیادہ کی ملازمت کی ضرورت ہے۔
مثال 2.51:
مساوات کو کم کریں:
نوٹ: ایک دوسرے کے ساتھ دو قوسین کا مطلب ہے کہ قوسین ANDed ہیں (ان کے درمیان ڈاٹ اختیاری طور پر نہیں لکھا گیا ہے)۔
حل:
حل کے لیے، ہر قدم کا جواز (وجہ) قدم کے دائیں طرف، بریکٹ میں دیا گیا ہے۔ قاری کو ہر قدم اور اس کا جواز پڑھنا چاہیے۔ قاری کو پچھلی خصوصیات کا بھی حوالہ دینا چاہیے کیونکہ وہ فنکشن میں کمی کے مراحل پڑھتا ہے۔
مثال 2.52:
آسان بنائیں:
2.6 مصنوعات کا کم از کم مجموعہ
درج ذیل دو افعال ایک جیسے ہیں:
کہا جاتا ہے کہ دونوں مساوات کے دائیں ہاتھ کے دونوں تاثرات Sum of Products (SP) کی شکل میں ہیں۔ ایکسپریس ایکسپریشن کو سم آف پروڈکٹ فارم میں کہا جاتا ہے اگر اس میں قوسین نہ ہوں۔ یہ واضح ہے کہ پہلے فنکشن (مساوات) کو دوسرے فنکشن سے زیادہ گیٹس کی ضرورت ہے۔
دوسرا فنکشن حاصل کرنے کے لیے پہلے دائیں ہاتھ کے اظہار کو اب بھی کم کیا جا سکتا ہے۔ دائیں ہاتھ کے دوسرے اظہار کو مزید آسان نہیں کیا جا سکتا اور پھر بھی مصنوعات کے مجموعہ (شرائط کا 'اضافہ') کے طور پر اظہار کیا جا سکتا ہے۔ دائیں ہاتھ کے دوسرے اظہار کو واقعی مزید آسان نہیں کیا جا سکتا۔ لہذا، کہا جاتا ہے کہ یہ مصنوعات کی کم از کم رقم (MSP) فارم میں ہے۔
مثال 2.61:
مندرجہ ذیل فنکشن کو پہلے پروڈکٹ کے مجموعہ میں اور پھر مصنوعات کی کم از کم رقم کے فارم پر لائیں۔
حل:
اس طرح کے مسائل کو حل کرتے وقت، پچھلی پچیس خصوصیات میں سے ایک یا زیادہ کو استعمال کرنا ہوگا جیسا کہ اس حل میں بیان کیا گیا ہے:
2.6 مصنوعات کا کم از کم مجموعہ
درج ذیل دو افعال ایک جیسے ہیں:
کہا جاتا ہے کہ دونوں مساوات کے دائیں ہاتھ کے دونوں تاثرات Sum of Products (SP) کی شکل میں ہیں۔ ایکسپریس ایکسپریشن کو سم آف پروڈکٹ فارم میں کہا جاتا ہے اگر اس میں قوسین نہ ہوں۔ یہ واضح ہے کہ پہلے فنکشن (مساوات) کو دوسرے فنکشن سے زیادہ گیٹس کی ضرورت ہے۔
دوسرا فنکشن حاصل کرنے کے لیے پہلے دائیں ہاتھ کے اظہار کو اب بھی کم کیا جا سکتا ہے۔ دائیں ہاتھ کے دوسرے اظہار کو مزید آسان نہیں کیا جا سکتا اور پھر بھی مصنوعات کے مجموعہ (شرائط کا 'اضافہ') کے طور پر اظہار کیا جا سکتا ہے۔ دائیں ہاتھ کے دوسرے اظہار کو واقعی مزید آسان نہیں کیا جا سکتا۔ لہذا، کہا جاتا ہے کہ یہ مصنوعات کی کم از کم رقم (MSP) فارم میں ہے۔
مثال 2.61:
مندرجہ ذیل فنکشن کو پہلے پروڈکٹ کے مجموعہ میں اور پھر مصنوعات کی کم از کم رقم کے فارم پر لائیں۔
حل:
اس طرح کے مسائل کو حل کرتے وقت، پچھلی پچیس خصوصیات میں سے ایک یا زیادہ کو استعمال کرنا ہوگا جیسا کہ اس حل میں بیان کیا گیا ہے:
یہ آخری اظہار مصنوعات کے مجموعہ (SP) میں ہے، لیکن مصنوعات کی کم از کم رقم (MSP) میں نہیں۔ سوال کے پہلے حصے کا جواب دیا گیا ہے۔ دوسرے حصے کا حل درج ذیل ہے:
یہ آخری آسان فنکشن (مساوات) MSP فارم میں ہے، اور اس کے متعلقہ SP فارم سے نفاذ کے لیے گیٹس کی کم تعداد کی ضرورت ہے۔ یاد رکھیں: SP کا مطلب ہے مصنوعات کا مجموعہ جبکہ MSP کا مطلب ہے مصنوعات کی کم از کم رقم۔
مثال 2.62:
مندرجہ ذیل سرکٹ میں X، Y، اور W ان پٹ ہیں اور Z آؤٹ پٹ ہے۔ Z کے لیے Sum of Products (SP) فنکشن (مصنوعات کے فنکشن کا بظاہر کم از کم مجموعہ) تیار کریں۔ پھر، مصنوعات کی حقیقی زیادہ کم (کم سے کم) رقم (MSP) تیار کریں۔ پھر، MSP سرکٹ کو لاگو کریں (MSP گیٹنگ نیٹ ورک ڈرا کریں)۔
تصویر 2.61 ایک گیٹنگ سرکٹ
حل:
آسان بنانے کا عمل شروع ہونے سے پہلے، Z کا اظہار X، Y، اور W کے لحاظ سے حاصل کیا جانا چاہیے۔ خاکہ سے اس مثال کی مثال دیکھیں:
یہ X، Y، اور W کے لحاظ سے Z کا اظہار ہے۔ اس کے بعد، ظاہری MSP میں آسانیاں ہو سکتی ہیں۔ ظاہری MSP SP ہے۔
یہ آخری مساوات (فنکشن) SP شکل میں ہے۔ یہ درست نہیں ہے کم از کم مصنوعات کی رقم (ابھی تک MSP نہیں ہے)۔ لہذا، کمی (کم سے کم) کو جاری رکھنا ہوگا۔
یہ آخری مساوات (فنکشن) ایک حقیقی کم از کم مصنوعات کی رقم (MSP) ہے۔ اور مصنوعات کی کم از کم رقم (حقیقی کم سے کم) گیٹنگ سرکٹ ہے:
تصویر 2.62 MSP گیٹنگ سرکٹ
تبصرہ
اس حصے کے تجزیے سے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ یہ واضح نہیں ہے کہ مصنوعات کا مجموعہ مصنوعات کی کم از کم رقم ہے یا نہیں۔ ایس پی بہت مفید نہیں ہے۔ یہ MSP ہے جو بہت مفید ہے۔ MSP حاصل کرنے کا ایک یقینی طریقہ ہے؛ یہ Karnaugh نقشہ استعمال کرنے کے لئے ہے. Karnaugh Map اس آن لائن کیریئر کورس کے دائرہ کار سے باہر ہے۔
2.7 مسائل
قارئین کو مشورہ دیا جاتا ہے کہ اگلے باب میں جانے سے پہلے ایک باب میں تمام مسائل حل کر لیں۔
- ان کے متعلقہ دروازوں کے ساتھ AND، OR، اور NOT سچائی کی میزیں تیار کریں۔
- دس Boolean Postulates کو ان کے مختلف زمروں میں لکھیں، زمرہ جات کا نام دیں۔
- وضاحت کے بغیر، بولین الجبرا کے چھبیس خواص کو ان کے مختلف زمروں میں، زمروں کے نام لکھیں۔
- بولین خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے مساوات کو کم کریں اور استعمال شدہ زمرے کا حوالہ دیں۔
- بولین خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے مساوات کو کم کریں اور استعمال شدہ زمرے کا حوالہ دیں۔
- بولین پراپرٹیز کا استعمال کرتے ہوئے اور استعمال شدہ زمرہ جات کا حوالہ دیتے ہوئے، درج ذیل مساوات کو کم کریں - پہلے پروڈکٹس کا مجموعہ اور پھر مصنوعات کی کم از کم رقم تک:
- بولین پراپرٹیز کا استعمال کرتے ہوئے اور استعمال شدہ زمرہ جات کا حوالہ دیتے ہوئے، درج ذیل مساوات کو کم کریں - پہلے پروڈکٹس کا مجموعہ اور پھر مصنوعات کی کم از کم رقم تک:
